Мат в 1 ход. Какой был первый ход черного короля?

Напрашивается ответ "Рокировка". Но небось, чтобы доказать это, придется всю голову сломать.

Пропущена черная пешка е6.

Как хорошо, что я вчера не начал решать.


Да ну нет. Если добавить черную пешку е6 - у задачи очевидно не будет решения. Ретроузел не развязать.

Балансы закрываются, да. Но это не страшно.

Что не страшно, я не пойму. Если мы добавим черную пешку е6, то баланс полностью закроется, да. Но позицию не развязать!
Позицию нельзя развязать, даже если мы пешку черную на е5 поставим и черные сразу смогут вернуть d6:Ce5. Тут мы сможем и черного коня без проблем с е2 вытащить и темпоходов у нас будет полно. Но ОДИН черный конь не может выполнить две задачи одновременно:
а) распревратиться на b1 в пешку;
б) встать на место белой ладьи g4, чтобы ту отправить домой на b1.

А без выполнения этих ОБОИХ условий, мы не можем вернуть b2:Cc3. У задачи ОЧЕВИДНО нет решения в таком виде!

Мне тоже вначале показалось, что с Лg4 надо что-то делать. А потом до меня дошло, что она совершенно свободна и может и ходить куда угодно и темпоходы белым дает в изобилии.

Интересное кино! На вопрос задачи "Какой был первый ход короля?" можно ответить только, если мат ставят белые. Если мат ставят черные, определить первый ход короля невозможно (там будет два варианта).
Значит, подход стандартный.
"Мат в 1 ход".
Мат ставят белые, если позиция при их ходе легальна. Легальность позиции при ходе черных нас в этом случае не интересует.
Проверяем легальность позиции при ходе белых.
Возвращать вначале можно только темпоходы черной пешки "с". При возврате ходов пешки f4 она всегда будет оказываться у кого-нибудь на дороге. На f4 на дороге белой ладьи, на f5 на дороге черного "темного" черного слона, на f6 на дороге черного "светлого" слона.
Первые несколько ходов будут строгими:
0. ... c5 1. Ка3 с6 2. Кb5 c7 3. Kd4 Kc1(g3) 5. Ke2-d4+ K~~ 6. Лg5
Дальше у нас есть темпоходы черным конем и белой ладьей. Неспешно выдвигаемся черным конем на b1, а белой ладьей на вертикаль b.
9. ... b2-b1K 10. Лb5 a3:Cb2 11. Cc1 a4 12. Лb1 a5 (дальше отступать этой пешкой нельзя)
13. b2:Cc3 Cg7
Дальше белые спокойно делают темпоходы ладьей а1-b1, а черные расставляются. Черный слон на f8, g7-g6, Ch5-e8-d7-c8, d7:Ke6, f5-f4, h5-h4.
22. Kf4 Kh4 23. Kg2-f4+ Kg6 24. Kph4 Ke5-g6+ 25. Kpg5 K~~ 26. Kpg6 Kpg4 27. Kph7 Kpg5 и все спокойно расходятся.
Первый ход черного короля однозначен (на f7 чтобы выпустить ферзя).
===
Если начать возвращать с белых (ход в позиции черных) всё то же самое, только пешка с7 будет стоять на с6. И определить первый ход черного короля нельзя: ферзь с королем могли выйти и через с7. А белый король тут может лихой маршрут заложить: f7-e8-d8-b6-c5 и выйти с другой стороны.
====
А нет. Мы там с шахом белым конем проскочили через d4. Поэтому надо заходить через g3 или с1. И тогда на два хода больше надо. И успеть можно только, если с белых начать возвращать.
1. Ка3 с5 2. Кс4 f5 3. Kd6 f6 4. Kf5 c6 5. Kg3 Kd4 6. Ke2-g3+ Kb5 7. Лg5 Ka3 8. Лb5 Kb1 9. Лb6 b2-b1K 10. Лb5 a3:Cb2 11. Cc1 a4 12. Лb1 a5 (дальше нельзя)
13. b2:Cc3 Ce5
Дальше всё то же самое, только слон обойдет пешку f6 через h6.
Только после 23. Кf4 Kh4 24. Kg2-e4+ Kg6 25. Kph4 Ke5-g6+ 26. Kph3
белый король не может выйти, h5 двигать больше нельзя, а пешка f6 не пускает на g5. Поэтому черные вынуждены играть f7-f6, а белый король тогда уходит по 5 горизонтали через е5-d4.
И тогда ответ:
1. ... С:g4#. Первый ход черного короля Kpe8-d8.