Поставьте мат в 3 хода, белые начинают

 1.Фe5 Крg4 2.Cf3+

1...Крh5 2.Cf7+

1...h2+ 2.Ф:h2+

1...g4 2.Фf6+

И угроз-то никаких, а цугцанг, однако.

1Фе2 h2+ 2 Kh2 g4 3 Фg4x

Так король убежит черный.

Пойдут сначала g4, потом Крh5

6 ???

Финальных матовых позиций действительно 6 - я же не расписывал до матов, 2 варианта ветвятся (в полном дереве всех вариантов). А вот определение правильного мата уже подзабыл, судить не берусь.

Правильный - это когда каждое поле рядом с королем и само поле, где он стоит, либо блокировано, либо под ударом ровно одной фигуры - такое определение?

Если да, то в задаче имеются и неправильные маты...

Не думаю, что существует правильный и неправильный мат )

Мат - это когда королю не куда ходить и ему шах (некуда ходить, имеется в виду, все окрудающие его поля, на которые он может попасть, под шахом).

Зря Вы так. Определение мата и корректной позиции знают все, а вот понятие "правильности" идет из шахматной композиции и в ходу только у специалистов - с понятием корректности оно не сопадает. Я не специалист по композиции, но что-то когда-то из терминов видел в журналах "64" и "Шахматы в СССР".

Я тоже не специадист по задачам. 

Мне кажется, эти фразу упоминались в другом контексте все-таки.

Лучше спросить у bigpapa1951.makaroff , но я не представляю другого контекста - речь именно об эстетике шла, и человек мог быть знаком с этим спецтермином - в прошлом веке он был в ходу.

Да и в этом веке термин еще используется - имеется соответствующая статья в wiki. Кстати, определение-то я привел, но там исключения имеются.