Могут ли белые дать мат в 2 хода?

Чтобы объявить кажущийся очевидным мат, нужно убедиться, что черные не могут воспользоваться неочевидным шансом на спасение... Или могут, и тогда извините...

А вот еще бы понять,

Последним ходом пешка g2 могла прийти с f3. (Затем белые f3.)
А если бы с g3, то она не могла съесть белого белопольного слона.

Согласен, т.к. это точно не пешка g2 (на своем пути ей раньше пришлось побить белопольного белого слона). Ферзь мог бы побить коня, но боев больше нет, а конь погиб раньше. Ферзь мог встать на f8 и без боя, но тогда этому ходу должен предшествовать Лh8:Kg8, но у белых бои тоже закончились до того. Остаются разрушители последнего шанса. И это в корне меняет итог, который следовал из выводов после анализа материального баланса...

Еще вариант, что последним ходом белые съели коня на g5.
Так что если ЧК и ладья не ходили, то в заданной позиции ход черных.

Ну, нет. В задании спрашивается: "Могут ли белые дать мат в 2 хода"? и не им начинать только, если у черных не видно легального последнего хода. А у черных могли ходить и ЧК, и ладья. Причем, т.к. других возможностей у них не было, то права на рокировку они не имеют, и получают мат в 2 хода...  

Сергей Иванович, к чему, собственно, относится Ваше "ну, нет"?
Я был не против Ваших рассуждений, и Вы не выдвинули ни одного аргумента против моих.
Напишу подробно, дабы было что поправлять.
Если черные ходили королем или ладьей, то получают мат в 2 хода после 1.Фd6. Однако, в задачах данное положение ЧК и ладьи по умолчанию означает право на рокировку, мата в 2 хода нет, и вопрос исчерпан. (Причем если автор не позаботился о легальности, то задача в качестве сказочной все равно может существовать.)

Но тут, как ранее не раз бывало, автор устроил подвох с нарушением правил, и только он решает, какое нарушение он примет, а какое нет. Глупое положение, в котором черт ногу сломит! Соль здесь в ретроанализе, но поскольку в условии о нем ничего не сказано, то, наверное, будет прав всякий, кто не станет заниматься историей и заявит, что мата нет. Если все-таки заняться (чего явно хотел автор) и считать, что в данной позиции последними ходили черные, то ходили ЧК или ладья, право на рокировку утрачено, белые могут дать мат в 2 хода, и итоговый ответ "да".

Поскольку правила для автора по боку, то столь же незаконно можно допустить многое, например: первыми ходят черные. Тогда после 1... d6 или 1... d5 белые не могут дать мат за 2 своих хода (независимо от того, могут ли черные рокироваться), и ответ на главный вопрос задачи будет "нет".

Нет относится к Вашему предпоследнему комменту, где Вы поставили все с ног на голову, предположив - "если" ЧК и ладья не ходили. Суть задания в процессе решения упирается в дилемму - могут ли черные легальным образом защититься от мата в 2 хода, который белые намерены им объявить (очередность хода за белыми, если о другом не объявлено дополнительно или это будет нелегально). С одной стороны, возможность есть - рокировка. С другой стороны, легальна ли она? Вышеприведенные рассуждения показывают, что - нет. Прийти к рассматриваемой позиции можно только ходив при этом ЧК или ладьей Ла8, причем, такой ход был последним. В результате белые могут дать мат в 2 хода. Мат - легальный, чем и был озабочен автор... 
Кстати, из Кодекса шахматной композиции: Статья 16 - Рокировка считается допустимой, если невозможно доказать, что она недопустима.
Еще цитирую: «В задачах и этюдах шахматной композиции рокировка по умолчанию считается возможной, кроме тех случаев, когда путём ретроанализа можно совершенно точно установить, что король или ладья уже ходили (то есть когда нет ни одной доказательной партии, в которой король и ладья не сделали бы ни одного хода)» 

Сергей Иванович, большое спасибо за объяснение. Особенно приветствую ссылки!
Однако, понятие "совершенно точно" - это точно не про шахматы.
Уж сколько здесь обсуждались теоретические вопросы, но не припомню ни одного случая, когда пришли бы к определенному выводу, которым можно надежно пользоваться. Вообще, не счесть просчетов в истории шахматной композиции! Так, если "нет ни одной доказательной партии", то это сегодня нет, а завтра могут найти. Поэтому кроме совсем простых случаев от "совершенной точности" вряд ли есть прок.

Кроме того, я полагаю (если не так, то поправьте, пожалуйста), что ретрозадачи должны идти под своей вывеской, а в задачах на мат решатели не обязаны заниматься ретроанализом, если несуразности не бросаются сразу в глаза.

Возможно, Вам виднее, где ноги и голова, но я не вижу ничего крамольного в своем предположении: "если ЧК и ладья не ходили". Это самое обычное дело, когда сначала рассматриваются разные гипотезы, а потом отсеиваются несостоятельные. Даже если неверно "ЧК и ладья не ходили", то это стандартный способ доказательства методом от противного: делают допущение и, если приходят к противоречию, то отвергают это допущение.

Заметьте, про крамолу - это Вы сказали. Я только сказал "нет" (думаю, самое распространенное и краткое выражение несогласия) на Ваше предположение и объяснил почему   

Собственно говоря, нестандартная формулировка задания однозначно указывает на то, что формальностями здесь не обойдешься.

Да! Формулировка начинена недомолвками и явно вводит читателя в заблуждение.
Суть дела ничуть не пострадала бы от такого задания:
С помощью ретроанализа выяснить, могут ли белые дать мат в 2 хода.

А вот с элементарными правилами логики на будущее не мешало бы разобраться, раз Вы, Сергей Иванович, через цитирование правил пропагандируете "совершенную точность".

Вот пример стандартной конструкции:
если прямые параллельны, то они не пересекаются.
При этом вовсе не утверждается, что все прямые параллельны. Неверным сам по себе будет также второй кусок, если его выдернуть из контекста: "прямые не пересекаются".  Однако, вместе два куска, соединенные связкой "если - то", дают истинное утверждение.  Вы в разных задачах тоже использовали эту конструкцию.

Теперь смотрим мое утверждение:
"если ЧК и ладья не ходили, то в заданной позиции ход черных".
Как и в приведенном выше примере, здесь вовсе не утверждается, что "ЧК и ладья не ходили", а также что непременно "ход черных".
Но утверждение верно, и я объяснил почему. На всякий случай повторю.
Последним ходом черных не мог быть ход ферзем согласно Вашему расчету.
Им не мог быть ход пешкой на g6, т.к. слон с f8 выходил.
Остаются 2 кандидата: f:g и ход фигурой на g5. После каждого из них был сделан ход белых: f3 или f:g соответственно.

Поэтому нелогично говорить "нет" верному и точному утверждению.
Далее, это верное утверждение по правилам доказательства от противного (которыми по сути Вы всегда пользовались) предельно кратно и точно ведет к нужному выводу. А именно: раз по условию задачи ход белых, то допущение "ЧК и ладья не ходили" надо отвергнуть. А раз ходили, то рокировка невозможна.

Да, нелогично... Ярчайший пример, извините, демагогии вокруг вырванной из контекста Вашей фразы. "Нет" было сказано по поводу коммента, противоречащего уже прокомментированному решению задачи - у черных последним был ход ЧК или ладьей (разрушители последнего шанса), лишающий их рокировки. Поэтому этот коммент рассматривался как выпадающий из дискуссии или недопонимание вышеизложенного, заслуживающий возражения и дальнейшего объяснения сути вышеизложенного...
Мои соображения - не последняя инстанция, и Вы имеете полное право высказывать свои соображения, но пинать меня некорректностью ведения дискуссии или обижаться на возражения против Ваших соображений (понимайте, как Вам удобнее), извините ...

Дорогой Сергей Иванович! Мы тут культурно отдыхаем, и я всего лишь поддержал заинтересовавшую меня идею достижения совершенной точности.  

А еще я давеча проверил свою смутную догадку, откуда Максим Гребенщиков почерпнул рассматриваемую задачу и, кажись, не первый раз. Догадка подтвердилась. Это знаменитая книга Рэймонда Смаллиана - "Шахматные тайны Шерлока Холмса". Книга - настольная, можно читать, как детектив, и перечитывать сто и более раз. Так там раскрытие тайны настолько подробное, что вполне можно запутаться  

Вообще-то я Смаллиана, признаюсь честно, не читал, а задачу нашел на одном форуме без указания автора.

Подозреваю, что это форум, где про биатлон... А упомянутая книга вместе с "Шахматные тайны арабских коней" представляют, по мнению автора,  "100 труднейших задач, связанных с расследованиями в области шахмат"

Да я знаю форум про биатлон, хоть и не зарегистрирован там. Заходил туда как гость.

На самом деле нет. В таких задачах не принято утверждать, что она именно на ретроанализ (с другой стороны, в журналах ретрозадачи обычно просто даются в своем разделе). По правилам позиция должна быть легальной, поэтому легальность всегда надо проверять.

А здесь очевидно задача на то, есть у черных право на рокировку или нет. Легко установить, что у черных есть право на рокировку только в случае, если черная пешка g2 пришла с f3 (потому что ей слона белопольного надо обязательно съесть). Дальше смотрим, какой последний ход черных был: все пять возможностей (ладья, король, ферзь, пешки g3 и g7 легальны, но лишают черных права на рокировку).

А дальше ответ может быть разным:
1) если использовать стандартное правило, что по умолчанию ход белых, то любой легальный последний ход черных указывает, что у них нет права на рокировку;
2) если использовать статью 16 "Рокировка считается допустимой, если невозможно доказать, что она недопустима" и продвинутое правило АР (что возможность рокировки можно доказать "апостериори", то есть потом), то черные заявляют, что право на рокировку у них есть, а в этом случае, у них нет последнего хода, и поэтому ход в позиции ихний. В дальнейшем у черных будет только одно обременение: они обязательно должны сделать рокировку, тем самым доказав свое право на нее. В этой задаче это не проблема - рокировка делается первым же ходом и мата нет.

С учетом того, что это Смаллиан, то понятно, что никакого АР (он и слов таких, небось, не знает) тут нет и какой был ответ, мне даже сложно представить.
Вы главу 8 почитайте - там простейший вопрос запутали так (тоже, кстати, связанный с возможностью рокировки), что я ржал три дня.
Самый едкий комментарий: "на предыдущем допросе вы показывали, что белые ходили последними и ходили как раз королем. Стесняюсь спросить, как можно поставить шах королю на том поле, куда он еще не пришел? А, Холмс?"
Ну там иначе прокомментировать было просто невозможно!
Хотя там вероятно, косяк переводчика, который королей путает с тузами.

====

Забавная несложная задача на эту тему (вернее их там даже три):
https://chesspro.ru/guestnew/looknullmessage/?themeid=10&id=132&page=5#
10-132-13004